Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны друг другу.
Утверждение 1: В параллелограмме противоположные углы равны.
Доказательство: Пусть ABCD — параллелограмм. Так как AB || CD и AD || BC, получаем две пары равных углов: ∠ABD ≡ ∠CDA (по накрест лежащим у граничной прямолинейной) и ∠DBC ≡ ∠ACD (по накрест лежащим у граничной прямолинейной). Следовательно, ∠ABD ≡ ∠DBC и ∠CDA ≡ ∠ACD. Таким образом, параллелограмм имеет равные противоположные углы.
Утверждение 2: В параллелограмме противоположные стороны равны.
Доказательство: Пусть ABCD — параллелограмм. Так как AB || CD, BD является трансверсалью. Из свойства параллельных прямых следует, что ∠ABD ≡ ∠CDA (по соответственным). Аналогично, так как AD || BC, ∠ADC ≡ ∠BCD. Тогда в треугольниках ABD и CDA угол ABD равен углу CDA, угол BDA равен углу DCA (по накрест лежащим у граничной прямолинейной), и общий угол DBA составляет 180°. Это означает, что треугольники ABD и CDA равны по двум углам и общей стороне. Следовательно, AB ≡ CD по стороне, и аналогично AC ≡ BD. Получаем, что противоположные стороны параллелограмма равны.
Утверждение 3: Диагонали параллелограмма делятся пополам.
Доказательство: Пусть ABCD — параллелограмм, AC и BD — его диагонали. Поскольку AC — это трансверсаль, ∠ABC ≡ ∠BCD. Также, ∠BAC ≡ ∠CDB (по накрест лежащим при прямолинейной). Теперь рассмотрим треугольники ABC и CBD. У них одинаковые углы и общая сторона BC. Следовательно, эти треугольники равны. Из равенства треугольников ABC и BDC следует, что AB ≡ CD. Аналогично, из равенства треугольников ACD и BDA следует, что AD ≡ BC. Таким образом, диагонали AC и BD делятся пополам.
Итак, мы доказали три утверждения о признаках параллелограмма: в нем противоположные углы равны, противоположные стороны равны, и диагонали делятся пополам.
