Определение предела по Коши является одним из основных понятий в математическом анализе. Оно позволяет формально определить поведение функции вблизи некоторой точки.
Пусть дана функция f(x), заданная на некотором интервале или окрестности точки a. Говорят, что число L является пределом функции f(x) при x, стремящемся к a, по Коши, если для любого положительного числа ε > 0 существует такое положительное число δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x - a| < δ, выполняется неравенство |f(x) - L| < ε. Это определение можно интерпретировать следующим образом: предел функции f(x) при x, стремящемся к a, по Коши существует, если для любого бесконечно малого приращения x - a значения функции f(x) между двумя заданными границами ε, также является бесконечно малым. Иначе говоря, если значения функции f(x) могут быть сколь угодно близкими к L при достаточно малых изменениях x таких, что x находится в некоторой окрестности точки a, то L является пределом функции f(x) при x, стремящемся к a, по Коши. Описание определения предела по Коши может быть сложным для понимания, поэтому часто используют более простые и понятные подходы, такие как определение предела по Гейне. Предел по Гейне говорит о том, что для сходимости последовательности значений функции при стремлении ее аргумента к некоторой точке достаточно, чтобы соответствующие элементы последовательности принадлежали некоторому «полуоткрытому» интервалу. Определение предела по Коши является важным инструментом в анализе функций и использование этого понятия позволяет более формально и точно описывать поведение функций вблизи заданных точек.
