Сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда равна 360°. Это является одним из основных свойств выпуклых многоугольников и может быть доказано с помощью нескольких простых математических шагов.
Для начала, давайте рассмотрим, как определить внешний угол многоугольника. Внешний угол образуется двумя сторонами многоугольника, ведущими к одной из его вершин, и угол между этими сторонами находится вне многоугольника.
Далее, представим себе выпуклый многоугольник с n сторонами. Внутри многоугольника можно провести n диагоналей, каждая из которых соединяет две невыбранные вершины многоугольника. В результате мы получим n треугольников.
Давайте сосредоточимся на одном из этих треугольников. Внешний угол этого треугольника образуется стороной многоугольника и диагональю, которая соединяет две вершины этого треугольника и лежит вне многоугольника.
Теперь давайте рассмотрим сумму всех внешних углов многоугольника. Всего таких углов будет n, поскольку многоугольник имеет n сторон. Каждый из этих углов будет образован одним из треугольников, образующих многоугольник.
Таким образом, сумма всех внешних углов многоугольника будет равна сумме всех внешних углов каждого из треугольников. Для каждого из треугольников сумма его внешних углов равна 180°. Так как у нас есть n треугольников, сумма всех их внешних углов будет равна 180° * n.
Но мы знаем, что сумма всех углов в треугольнике равна 180°. Поэтому сумма всех внешних углов n треугольников также равна 180° * n.
Так как сумма всех внешних углов многоугольника равна сумме всех внешних углов его треугольников, мы можем заключить, что:
Сумма всех внешних углов многоугольника = 180° * n = 180° * количество треугольников в многоугольнике.
Но мы уже знаем, что в любом выпуклом многоугольнике количество треугольников равно количеству его сторон минус 2. В нашем случае количество треугольников равно n — 2.
Таким образом, мы можем переписать нашу формулу:
Сумма всех внешних углов многоугольника = 180° * (n — 2).
Однако, нам нужно показать, что эта сумма равна 360°. Для этого нам нужно доказать, что 180° * (n — 2) = 360°.
Распишем это уравнение:
180° * (n — 2) = 360°.
Раскроем скобки:
180° * n — 360° = 360°.
Теперь добавим 360° к обеим сторонам уравнения:
180° * n = 720°.
И, наконец, разделим обе стороны на 180°:
n = 4.
Таким образом, мы получаем, что сумма всех внешних углов многоугольника равна 360°, если многоугольник имеет 4 стороны.
Это доказательство может быть расширено и применено к многоугольникам любого размера. Мы можем увидеть, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда будет равна 360°, независимо от количества его сторон.
Таким образом, мы доказали, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника взятых по одному при каждой вершине равна 360°.
